抛物线的焦点坐标

1.理解障碍

(1)对抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握:

(i)抛物线的定义还可叙述为:“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线.”这样与椭圆、双曲线有统一的第二定义.

(ii)定义的实质可归结为“一动三定”,一个动点,设为M;一个定点F,叫做抛物线的焦点;一条定直线l,叫做抛物线的准线;一个定值,即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.

(iii)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线.如,到点F(1,0)和到l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程为x-y-1=0,轨迹是一条直线.

(2)对抛物线标准方程的理解

抛物线标准方程的特点在于:等号一边是某变元的完全平方,等号另一边是另一变元的一次项,这种形式和它的位置特征相对应.若对称轴为x轴,方程中的一次项就是x的一次项,且符号指出了抛物线的开口方向,即:开口向右时,该项取正号;开口向左时,该项取负号.

若对称轴为y轴,则方程中的一次项就是y的一次项,且符号指示了抛物线的开口方向,即:开口向上时,该项取正号;开口向下时,该项取负号.

2.解题障碍

(1)对抛物线定义应用不够灵活

抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化,这一转化在解题中有着重要作用.

(2)对标准方程的应用不准确

由于抛物线标准方程有四种,在应用时易混淆.故需加强对标准方程的感性认识,记准标准方程与抛物线之间的对应关系.

【学习策略】

1.定义的应用

由于当定点在定直线上时,到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹为一条直线而不是抛物线,故利用定义判断轨迹时应先验证定点是否在定直线上.

定义在抛物线题目中有着广泛的应用,要注意定义的转化作用的应用.

2.待定系数法

尽管抛物线标准方程有四种,但方程中都只有一个待定系数,一是利用好参数p的几何意义,二是给抛物线定好位,即求抛物线方程也遵循先定位,后定量的原则.

3.统一方程

对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定,即不必事先限定a的正负,也就是说,不必设为y2=2px或y2=-2px(p>0),这样能减少计算量.同理,焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2=ay(a≠0).

【例题分析】

〔例1〕求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)过点(-3,2);

(2)焦点在直线x-2y-4=0上.

策略:根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可,注意标准方程的形式.

解:(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(y>0),将点(-3,2)代入方程得2p= 或2p= ,

∴所求抛物线方程为y2=- x或x2= y.

(2)令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2.

∴抛物线的焦点为F(0,-2).

设抛物线方程为x2=-2py,则由 =2,得2p=8,

∴所求的抛物线方程为x2=-8y.

或令y=0,由x-2y-4=0得x=4,∴抛物线焦点为F(4,0).

设抛物线方程为y2=2px,由 =4得p=8.则所求方程为y2=16x.

总之,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.

评注:此两小题都有两解,注意不要丢解.做题前可先画草图,全面考查已知条件.本题都采用了待定系数法求解,要注意解题方法和技巧.

对于抛物线y^2=2px

其焦点坐标为(p/2,0)

没有什么公式的,式中p是参数,y^2=2px是抛物线的一般形式(p/2,0)

也就是它焦点坐标.(当然x,y的位置可以互换,但这时的焦点坐标就变成(0,p/2)

在求抛物线的焦点时,一定要把方程转化为标准形式。

y=x^2的焦点坐标为(0,1/4)。通式:1,焦点在x轴上:y^2=2px的焦点坐标为(p/2,0);2,焦点在y轴上
:x^2=2py的焦点坐标为(0,p/2)(0,1/4)
抛物线X^2=2PY的焦点坐标为(0,P/2)
Y^2=2PX的焦点坐标为(P/2,0)这个问题问的有点不好 一个焦点一条准线可以确定一条抛物线 不是已知一条抛物线求焦点 还要看抛物线方程是什么形式了
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